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# Übungsblatt 2
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## Übung 1
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Betrachten Sie den Automaten A aus Abbildung 1:
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### (a) Wie lautet die formale Tupeldarstellung des Automaten?
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- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
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- $Σ = \{x,y\}$
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- $Q = \{a,b,c,d\}$
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- $q_s = \{a\}$
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- $Q_a = \{d\}$
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- $δ:$
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- | Zustand | δ(.,x) | δ(.,y) |
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|---------|--------|--------|
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| a | b | |
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| b | c | b |
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| c | d | b |
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| d | d | b |
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### (b) Beschreiben Sie wie der Automat die Eingabe $xyyxyx$ verarbeitet.
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1. Start in Zustand $a$
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- x → $δ(a,x)=b$
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2. Zustand $b$
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- y → $ δ(b,y)=b$
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3. Zustand $b$
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- y → $ δ(b,y)=b$
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4. Zustand $b$
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- x → $ δ(b,x)=c$
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5. Zustand $c$
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- y → $ δ(c,y)=b$
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6. Zustand $b$
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- x → $ δ(b,x)=c$
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→ Endzustand: $c$, da der akzeptierende Zustand $d$ ist, wird die Eingabe nicht akzeptiert.
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### (c) Nennen Sie zwei verschiedene kürzeste Wörter, die von A akzeptiert werden und die jeweils jeden Übergang (Kante) aus Abbildung 1 mindestens einmal benutzen.
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$w_1 ∈ Σ^* := xyxyxxyxxx$
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$w_2 ∈ Σ^* := xxyyxxyxxx$
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### (d) Beschreiben Sie die von A akzeptierte Sprache sowohl informal (in Worten) als auch formal (als Teilmenge von $\{x,y\}^*$).
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#### Informal:
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Die von A akzeptierte Sprache muss mit x beginnen und mit xx aufhören. Dazwischen dürfen beliebig viele x und y in beliebiger Reihenfolge sein.
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#### Formal:
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$L_A:= \{w \space | \space w = x*a*xx, a ∈ \{x,y\}^*\}$
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### (e) Automat $A$ ist unvollständig (die Übergangsfunktion ist partiell). Geben Sie einen vollständigen Automaten $A′$ mit $L(A′) = L(A)$ in Graphdarstellung an.
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```plantuml
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@startuml
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left to right direction
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skinparam dpi 150
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skinparam state {
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BackgroundColor #FFFACD
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BorderColor black
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FontName Helvetica
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RoundCorner 30
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Shadowing false
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LineThickness 0
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}
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state a
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state d##[bold]
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[*] --> a
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a --> b : x
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a --> e : y
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b --> b : y
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b --> c : x
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c --> b : y
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c --> d : x
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d --> d : x
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d --> b : y
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e --> e : x,y
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@enduml
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```
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## Übung 2
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Betrachten Sie die Sprache $ L = \{s ∈ Σ^* \space | \space s \space hat \space das\space Präfix\space 42\space und \space endet \space nicht \space auf \space 23 \}$
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über dem Alphabet $ Σ=\{0,1,...,9\}$.
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### (a) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der die Sprache L akzeptiert.
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```plantuml
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@startuml
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left to right direction
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skinparam dpi 150
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skinparam state {
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BackgroundColor #FFFACD
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BorderColor black
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FontName Helvetica
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RoundCorner 30
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Shadowing false
|
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LineThickness 0
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}
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state c##[bold]
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state d##[bold]
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[*] --> a
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a -up-> f : {0,...,9}\{4}
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a --> b : {4}
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b -up-> f : {0,...,9}\{2}
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f --> f : {0,...,9}
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||
b --> d: {2}
|
||
c --> c : {0,...,9}\{2}
|
||
c --> d : {2}
|
||
d --> c : {0,...,9}\{3}
|
||
d --> e : {3}
|
||
e --> c : {0,...,9}\{2}
|
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e --> d : {2}
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@enduml
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```
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### (b) Beschreiben Sie einen vollständigen endlichen Automaten in Graphdarstellung der genau die nicht-leeren Zeichenketten über dem Alphabet $Σ$ akzeptiert, die keine Wörter der Sprache L sind.
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```plantuml
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@startuml
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left to right direction
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skinparam dpi 150
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skinparam state {
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BackgroundColor #FFFACD
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||
BorderColor black
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||
FontName Helvetica
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||
RoundCorner 30
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||
Shadowing false
|
||
LineThickness 0
|
||
}
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state f##[bold]
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state b##[bold]
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state e##[bold]
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[*] --> a
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a -up-> f : {0,...,9}\{4}
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a --> b : {4}
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b -up-> f : {0,...,9}\{2}
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f --> f : {0,...,9}
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b --> d: {2}
|
||
c --> c : {0,...,9}\{2}
|
||
c --> d : {2}
|
||
d --> c : {0,...,9}\{3}
|
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d --> e : {3}
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e --> c : {0,...,9}\{2}
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e --> d : {2}
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@enduml
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```
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## Übung 3
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Beschreiben Sie für jede der nachfolgend definierten Sprachen jeweils einen endlichen
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deterministischen Automaten, der die Sprache akzeptiert. Geben Sie die Automaten
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dabei sowohl in der formalen Tupel- als auch in der Graphdarstellung an. Begründen1
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Sie jeweils die Korrektheit Ihrer Konstruktion.
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### (a) Die Sprache $L1$ aller geraden natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung ohne führende Null (d. h. $\{ 0, 2, 8, 42 \} ⊆ L1$ aber $\{ 02, 23 \} ∩ L1 = ∅$).
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#### Tupeldarstellung (a)
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- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
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- $Σ = \{0,...,9\}$
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- $Q = \{a,b,c,d,e\}$
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||
- $q_s = \{a\}$
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||
- $Q_a = \{b,d\}$
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- $δ:$
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- | Zustand | δ(.,0) | δ(.,1) | δ(.,2) | δ(.,3) | δ(.,4) | δ(.,5) | δ(.,6) | δ(.,7) | δ(.,8) | δ(.,9) |
|
||
|---------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
|
||
| a | b | e | d | e | d | e | d | e | d | e |
|
||
| **b** | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c |
|
||
| c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c |
|
||
| **d** | d | e | d | e | d | e | d | e | d | e |
|
||
| e | d | e | d | e | d | e | d | e | d | e |
|
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||
#### Graphdarstellung (a)
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```plantuml
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@startuml
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left to right direction
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skinparam dpi 150
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skinparam state {
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||
BackgroundColor #FFFACD
|
||
BorderColor black
|
||
FontName Helvetica
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||
RoundCorner 30
|
||
Shadowing false
|
||
LineThickness 0
|
||
}
|
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state b##[bold]
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state d##[bold]
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[*] --> a
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a --> b : {0}
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b -up-> c : {0,...,9}
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||
b --> c : {0,...,9}
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||
a --> d : {2,4,6,8}
|
||
a --> e : {1,3,5,7,9}
|
||
d --> e : {1,3,5,7,9}
|
||
d --> d : {0,2,4,6,8}
|
||
e --> d : {0,2,4,6,8}
|
||
e --> e : {1,3,5,7,9}
|
||
@enduml
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||
```
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#### Begründung (a)
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- Startzustand a: nur 0 wird in b geschickt (direkt akzeptierend)
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- Andere Ziffern (2, 4, 6, 8) leiten in d, auch akzeptierend, aber nur wenn keine führenden Nullen davor kamen
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||
- Zustand e „hält“ ungerade Endziffern (nicht akzeptierend)
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||
- Folgeziffern verhalten sich konsistent
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||
### (b) Die Sprache $L2 = \{ w ∈ \{ 0, 7 \}^* \space|\space w\space enthält\space 007\space genau\space einmal\space als\space Teilwort \}$.
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#### Tupeldarstellung (b)
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||
- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
|
||
- $Σ = \{0,...,9\}$
|
||
- $Q = \{a,b,c,d,e,f,g\}$
|
||
- $q_s = \{a\}$
|
||
- $Q_a = \{d\}$
|
||
- $δ:$
|
||
- | Zustand | δ(.,0) | δ(.,1) | δ(.,2) | δ(.,3) | δ(.,4) | δ(.,5) | δ(.,6) | δ(.,7) | δ(.,8) | δ(.,9) |
|
||
|---------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
|
||
| a | b | a | a | a | a | a | a | a | a | a |
|
||
| b | c | a | a | a | a | a | a | a | a | a |
|
||
| c | a | a | a | a | a | a | a | d | a | a |
|
||
| **d** | d | d | d | d | d | d | d | e | d | d |
|
||
| e | d | d | d | d | d | d | d | f | d | d |
|
||
| f | d | d | d | d | d | d | d | g | d | d |
|
||
| g | g | g | g | g | g | g | g | g | g | g |
|
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|
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||
#### Graphdarstellung (b)
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```plantuml
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@startuml
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||
skinparam dpi 150
|
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|
||
skinparam state {
|
||
BackgroundColor #FFFACD
|
||
BorderColor black
|
||
FontName Helvetica
|
||
RoundCorner 30
|
||
Shadowing false
|
||
LineThickness 0
|
||
}
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state d##[bold]
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[*] -right-> a
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||
a -right-> b : {0}
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b -right-> c : {0}
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||
c -right-> d : {7}
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||
d -right-> e : {0}
|
||
e -right-> f : {0}
|
||
f -right-> g : {7}
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b --> a : {0,...,9}\{0}
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a --> a : {0,...,9}\{0}
|
||
c --> a : {0,...,9}\{7}
|
||
d --> d : {0,...,9}\{0}
|
||
e --> d : {0,...,9}\{0}
|
||
f --> d : {0,...,9}\{7}
|
||
g --> g : {0,...,9}
|
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@enduml
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```
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#### Begründung (b)
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- Einmaliges Vorkommen von 007 wird erkannt und in d akzeptiert
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- Zweites Vorkommen leitet in g, das nicht akzeptierend ist
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||
- Rücksprünge für unpassende Sequenzen sind korrekt konstruiert
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||
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||
### (c) Die Sprache $L3 = \{ w ∈ \{ a, b \}^* \space| \space \#_a(w) ≡ \#_b(w) mod 3 \}$.
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#### Tupeldarstellung (c)
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- $A=(Σ,Q,q_s,Q_a, δ)$
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- $Σ=\{a,b\}$
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- $Q=\{q0,q1,q2\}$
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||
- $q_s=\{q0\}$
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||
- $Q_a=\{q0\}$
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||
- $ δ:$
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||
- $δ(q,a)=(q+1) \space mod \space 3,δ(q,b)=(q−1) \space mod \space 3$
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||
- | Zustand | δ(.,a) | δ(.,b) |
|
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|---------|--------|--------|
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| q0 | q1 | q2 |
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| q1 | q2 | q0 |
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||
| q2 | q0 | q1 |
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||
#### Graphdarstellung (c)
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```plantuml
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@startuml
|
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left to right direction
|
||
skinparam dpi 150
|
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skinparam state {
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||
BackgroundColor #FFFACD
|
||
BorderColor black
|
||
FontName Helvetica
|
||
RoundCorner 30
|
||
Shadowing false
|
||
LineThickness 0
|
||
}
|
||
|
||
state q0##[bold]
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||
[*] -right-> q0
|
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q0 -right-> q1 : a
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q0 --> q2 : b
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q1 -right-> q2: a
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||
q1 --> q0 : b
|
||
q2 --> q0 : a
|
||
q2 --> q1 : b
|
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@enduml
|
||
```
|
||
|
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#### Begründung (c)
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||
- q0 wird genau dann erreicht, wenn $\#_a ≡ \#_b mod 3$
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- Übergänge sind konsistent |