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# Einleitung
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## Das Ampelproblem
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### Lösungsansatz
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- ungerichteter Graph $G = (V, E)$
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- V = endliche Knotenmenge
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- E = endliche Kantenmenge
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- wichtige Eigenschaft: si, sj verträglich oder nicht
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> Graph G=(V, E) für kommende Abbildung:
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>
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> V = {s1, s2, s3, s4, s5, s6},
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> E = {{s1, s4}, {s1, s5}, {s2, s4}, {s2, s5}, {s3, s6}, {s4, s5}}
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### Formalisierung des algorithmischen Vorgehens
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1. Verträglichkeitsgraphen erstellen ($G = (V,E)$)
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2. finde eine größte [Clique](#clique-c) $C_1$ in V
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3. Entferne aus G alle Knoten aus $C_1$ und Kanten Adjazent zu $C_1$
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- $V ← V $ \\ $ C_1$
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- $E ← E $ \ {$e ∈ E | e ∩ C_1 \neq ∅$}
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4. finde eine größte [Clique](#clique-c) $C_2$ in V
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5. ...
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## Clique C
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nicht-leere Teilmenge $C \subseteq V$, wenn zwei verschiedene Knoten in C paarweise durch eine Kante aus E verbunden sind
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**Es gilt:**
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${u,v} \in E$ für alle $u,v \in C$ mit $u \ne v$
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per Definition ist **auch jede einelementige Teilmenge** $C \subseteq V$ eine Clique
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Größe einer Clique:
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$|C|$
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### Maximum Clique-Size
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> Eingabe: Graph V = (V, E)
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> Ausgabe: Größe einer größten Clique C von G
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> Theorem 1.1
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> Algorithmus A löse MaximumClique. Dann existiert Algorithmus B mit ~ gleicher Laufzeit der MaximumCliqueSize löst.
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1. Verträglichkeitsgraphen erstellen ($G = (V,E)$)
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2. finde eine größte [Clique](#clique-c) $C_1$ in V
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3. zähle Elemente der Clique
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> Theorem 1.2
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> Algorithmus A löse MaximusCliqueSize. Dann existiert Algorithmus B mit ähnlicher Laufzeit der MaximumClique löst.
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$N(v) = \{n ∈ V | \{n,v\} ∈ E\}$
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- alle Knoten, die nix mit dem zu tun haben werden entfernt
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$$
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\begin{array}{l}
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\text{A}(G = (V, E)) \\
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1.\ \text{Wähle } v \in V \text{ mit kleinster ID} \\
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2.\ \text{Berechne } k = B(G) \\
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3.\ \text{Berechne } k_{-v} = B(G - v) \\
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4.\ \text{Falls } k_{-v} < k: \\
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\quad a.\ c = A(G - v - \overline{N(v)}) \\
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\quad b.\ \text{Gib } \{v\} \text{u zurück} \\
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5.\ \text{Sonst:} \\
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\quad a.\ c = A(G - v) \\
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\quad b.\ \text{Gib } c \text{ zurück}
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\end{array}
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$$
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**Zentrale Beobachtung**:
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- Für G = (V, E) und v ∈ V sei G - v = (V\v,{e ∈ E | v !∈ e}).
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- Sei k die Größe einer Clique in G und $k_{-v}$ die Größe einer größten Clique in G-v.
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- Dann gilt:
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- (a) v ∈ allen größten Cliquen → $k_{-v}$ = k - 1
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- (b) v !∈ allen größten Cliquen → $k_{-v}$ = k
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### MaximumCliqueDec
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> Eingabe: Graph V = (V, E) und k ∈ Ν
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> Ausgabe: gibt es eine Clique C der Größe k in G?
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> Theorem 1.3
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> Algorithmus A löse MaximumCliqueDec. Dann existiert ähnlicher Algorithmus B mit ähnlicher Laufzeit, der MaximumCliqueSize löst.
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**B(G, k) für G = (V, E)**
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1. Verträglichkeitsgraphen erstellen ($G = (V,E)$)
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2. Cliquen finden
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3. Elemente der ersten Clique zählen
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4. falls Elemente = k → Abbruch sonst zur nächsten
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